Sparsity Extended Information Filter SLAM
M. R. Walter, R. M. Eustice, and J. J. Leonard, “Exactly Sparse Extended Information Filters for Feature-based SLAM,” The International Journal of Robotics Research, vol. 26, no. 4, pp. 335–359, Apr. 2007, doi: 10.1177/0278364906075026.
EKF 通过均值和协方差矩阵估计机器人状态和地图,但协方差矩阵的计算和更新复杂度为
EIF 使用信息矩阵(逆协方差矩阵)和信息向量描述高斯分布,更新步骤复杂度为

SEIF 利用信息矩阵的稀疏性,将非对角元素近似为零,显著降低了更新和时间预测的计算成本,接近常数复杂度。但这种近似往往造成滤波器的过分自信,同时它依赖稀疏性和均值估计的近似求解,使得在实际应用中仍面临挑战。
Gaussian Probability
Duality of Covariance and Information
对服从高斯分布的多元随机变量
在标准形式中,边缘化操作只需从均值向量和协方差矩阵中移除相应的元素。然而在规范形式中,边缘化操作需要计算舒尔补,计算复杂度较高。条件化则相反,在标准形式中操作较为复杂,在规范形式下则相对简单。

Implied Conditional Independence
其中
“The meaning of a zero in an inverse covariance matrix (at location
) is conditional on all the other variables, these two variables and are independent. ... So positive off-diagonal terms in the covariance matrix always describe positive correlation; but the off-diagonal terms in the inverse covariance matrix can’t be interpreted that way. The sign of an element in the inverse covariance matrix does not tell you about the correlation between those two variables.” (MacKay and Cb, 2006, p. 4)

如果信息矩阵中的非对角元素为零,即
Extended Information Filter
记状态
Measurement Update Step
观测对减小机器位姿和地图的估计的不确定性有重要影响,在均值处对非线性观测模型做一阶近似
根据马尔科夫假设
在更新时,EIF 估计规范形式的新的后验概率
其中测量模型是一个只包含机器当前位姿以及现在观测到的地标的函数,在雅可比中表现为极度稀疏(没观测到的地标的梯度为
信息矩阵通过稀疏矩阵
Time Projection Step
时间预测包括状态扩展和边缘化。首先参考观测模型,对于运动学模型我们同样给出一阶近似
首先将新的机器人位姿加入状态向量,并同步扩展信息矩阵和信息向量。其中状态向量

新的状态估计服从更新后的高斯分布
由协方差矩阵和信息矩阵的对偶性得到
第二步是边缘化
虽然 EIF 能高效处理新观测的增量更新,但通过边缘化旧位姿时产生的全连接问题会导致信息矩阵迅速稠密化,使得运动预测的计算复杂度达到
Sparse Extended Information Filter
Active Sparsity Maintenance
记原先激活后续变为被动的特征为
SEIF 给出去除

Discussion on Overconfidence
假设三元变量
并且变量
对于在
为了保证近似后的一致性,一个充要条件是
其中,一个使
只有在